दो सदिशों का गुणन, सदिश व अदिश गुणनफल क्या है, वेक्टर और स्केलर गुणन

सदिश और अदिश राशि किसे कहते हैं। इसके बारे में हम पिछले अध्याय में पड़ चुके हैं इस अध्याय में दो सदिशों के सदिश गुणन व दो सदिशों के अदिश गुणन के बारे में विस्तार से अध्ययन करेंगे।
क्योंकि हम जानते हैं कि अदिश राशियों को जोड़ने, घटाने, गुणा व भाग करने की प्रक्रिया साधारण गणितीय नियमों द्वारा ही होती है। इसके विपरीत सदिश राशियों में ऐसे नहीं होता है। इनके अपने कुछ नियम हैं। जिन्हें सदिश बीजगणित कहते हैं। इनकी सहायता से सदिश राशियों का जोड़, घटा, गुणा किया जाता है इस अध्याय में हम सदिशों के गुणनफल के नियमों के बारे में ही अध्ययन करेंगे।

दो सदिशों का गुणन

सदिशों के गुणन के लिए बीजगणितीय नियम लागू नहीं होते हैं जब दो सदिशों का गुणन किया जाता है तो इससे प्राप्त राशि सदिश भी हो सकती है अथवा अदिश भी हो सकती है।
अब जैसे बल और विस्थापन दोनों सदिश राशियां हैं लेकिन जब इनका गुणन किया जाता है तो कार्य या बल-आघूर्ण प्राप्त होता है। कार्य एक अदिश राशि है जबकि बल-आघूर्ण एक सदिश राशि है।
इसी आधार पर सदिशों के गुणन को दो भागों में बांटा गया है।
(1) सदिश गुणन
(2) अदिश गुणन

1. सदिश गुणन

जब दो सदिशों के गुणन के पश्चात प्राप्त होने वाली राशि सदिश होती है तो इसे सदिश गुणन (vector product) कहते हैं।
माना \overrightarrow{A} और \overrightarrow{B} दो सदिश राशियां हैं तब इनके बीच सदिश गुणन को \overrightarrow{A} × \overrightarrow{B} लिखा जाता है। क्योंकि सदिश गुणन के बीच क्रॉस चिन्ह लगता है इसलिए सदिश गुणन को क्रोस गुणन भी कहते हैं।

2. अदिश गुणन

जब दो सदिशों के गुणन के पश्चात प्राप्त होने वाली राशि अदिश होती है तो इसे अदिश गुणन (scalar product) कहते हैं।
माना \overrightarrow{A} और \overrightarrow{B} दो सदिश राशियां हैं तो इनके बीच अदिश गुणन को \overrightarrow{A} \overrightarrow{B} लिखा जाता है। चूंकि इनके के बीच डॉट चिन्ह लगता है इसलिए अदिश गुणन को डॉट गुणन भी कहते हैं।

दो सदिशों का अदिश गुणनफल

यह एक अदिश राशि होती है जो दोनों सदिशों के परिणामों तथा उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होती है।

दो सदिशों का गुणन

माना दो सदिश \overrightarrow{A} \overrightarrow{B} हैं जिनके परिमाण क्रमशः A व B हैं। यदि इनके बीच बना कोण θ है तो \overrightarrow{A} \overrightarrow{B} का अदिश गुणनफल निम्न होगा।
\footnotesize \boxed { \overrightarrow{A} • \overrightarrow{B} = ABcosθ }

उदाहरण –
(i) W = \overrightarrow{F} \overrightarrow{s}
(ii) अदिश गुणनफल क्रम-विनिमय नियम का पालन करता है अर्थात्
\overrightarrow{A} • \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} • \overrightarrow{A}
(iii) अदिश गुणनफल वितरण नियम का पालन करता है।
\overrightarrow{A} • (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{A} • \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} • \overrightarrow{C}

    महत्वपूर्ण बिंदु –
  1. जब दो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं तो उनका अदिश गुणनफल शून्य होता है।
    \overrightarrow{A} • \overrightarrow{B} = ABcos90° = 0
  2. जब दो सदिश परस्पर समांतर होते हैं तो उनका अदिश गुणनफल दोनों सदिशों के परिमाणों के गुणनफल के बराबर होता है।
    \overrightarrow{A} • \overrightarrow{B} = ABcos0° = AB
  3. अदिश गुणनफल में लंबकोणीय एकांक सदिशों में निम्न संबंध होता है।
    (i). \widehat{i} \widehat{i} = \widehat{j} \widehat{j} = \widehat{k} \widehat{k} = 1
    (ii). \widehat{i} \widehat{j} = \widehat{j} \widehat{k} = \widehat{k} \widehat{i} = 0

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दो सदिशों का सदिश गुणनफल

यह एक सदिश राशि होती है जो दोनों सदिशों के परिणामों तथा उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होती है। इसकी दिशा दोनों सदिशों के तल के लंबवत होती है।

सदिश व अदिश गुणनफल क्या है

माना दो सदिश \overrightarrow{A} \overrightarrow{B} हैं जिनके परिमाण क्रमशः A व B हैं। यदि इनके बीच बना कोण θ है तो दो सदिशों के सदिश गुणनफल की परिभाषा से
\footnotesize \boxed { \overrightarrow{A} × \overrightarrow{B} = ABsinθ \widehat{n} }

उदाहरण –
(i) τ = \overrightarrow{r} × \overrightarrow{F}
(ii) सदिश गुणनफल ऋणात्मक नहीं होता है हमेशा धनात्मक ही होता है।
(iii) सदिश गुणनफल क्रम-विनिमय नियम का पालन नहीं करता है अर्थात्
\overrightarrow{A} × \overrightarrow{B} \neq \overrightarrow{B} × \overrightarrow{A}
(iv) सदिश गुणनफल वितरण नियम का पालन करता है।
\overrightarrow{A} × (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{A} × \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} × \overrightarrow{C}

    महत्वपूर्ण बिंदु –
  1. जब दो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं तो उनका सदिश गुणनफल, दोनों सदिशों के परिमाणों के गुणनफल के बराबर होता है।
    \overrightarrow{A} × \overrightarrow{B} = ABsin90° = AB
  2. जब दो सदिश परस्पर समांतर होते हैं तो उनका सदिश गुणनफल शून्य होता है।
    \overrightarrow{A} • \overrightarrow{B} = ABsin0° = 0
  3. सदिश गुणनफल में लंबकोणीय एकांक सदिशों में निम्न संबंध होता है।
    (i). \widehat{i} × \widehat{i} = \widehat{j} × \widehat{j} = \widehat{k} × \widehat{k} = 0
    (ii). \widehat{i} × \widehat{j} = \widehat{k} , \widehat{j} × \widehat{k} = \widehat{i} , \widehat{k} × \widehat{i} = \widehat{j}
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